书名：科探柯菲
作者：suejet
作品相关介绍零说明
《科探柯菲》其实源自一部暂时没有办法出版的学术著作（也可以当科普著作）——《绝对理性——探寻思维的极限》。这年头，要出版一本学术著作有多难？只好把书改写成小说了。如果小说都是失败的，那么就把书烧了。如果小说是成功的，那么就让原著燃烧吧。
为了让有兴趣的读者，也能够读到《绝对理性》这部作品。现在也把它付在相关介绍部分。希望大家支持！
另外，因为文档不支持图片，所以相关图片资料无法上传。有兴趣的朋友，耐心点等待实体书的出版吧。
作品相关介绍零1序言
序1关于本书的写作时下思维科学是热门话题，因为思维科学贯穿人类一切活动，是人之为人的根本，也是人类文明发展的关键。但关于思维科学的著作，一般侧重两个方面：脑科学、纯哲学。但目前我们对大脑仍知之甚少，以前者为基础自然不够扎实；而后者更是近乎臆断，大都是用固有的哲学模式、纯粹的理论来“套”出新理论。当然也有少数作品能够以事实案例入手进行探讨，但要么受“文理分科”所限，无法把自然科学相关思维案例进行有效整理，大多只能浅尝即止；要么因为引证内容不成体系，看起来有理有据，但是观点庞杂零碎，大而无当。有个别作品能够提纲挈领，但是分析又不够全面细致。
本书努力弥补上述缺陷，在具体写作中着力于“探索人类现有思维的局限”。以此纲领，尝试以各个学科思维发展历程，杰出思想家、科学家具体的思维方法为研究对象；来探讨思维的演变规律、思维的有效方法。简单地说，本书研究的对象和目的有三个：影响我们思维的观念、科学思维的历程、具体的思维方法。所以本书尝试以充分的实例来分析探讨，并且尽量地涵盖各个学科，努力把握各个学科的关键思维历程与主要思维方法。这是本书在构思和结构上与其他思维科学著作不同之处。
为了更准确、完整地把握各个学科关键的思维，又为了能够深入浅出，言简意赅地表达；本书在写作上，主要依赖三方面的素材：一是以学科的发展史资料来探索学科发展过程中思路演化以及产生影响的观念，二是以思想家、科学家的原著、传记资料来探索具体人物的思维方法，三是结合科普读物、新闻资讯、网络信息来寻求最好的理解、表达方式。为了确保资料的可信度，以及表达的简洁，本书尽量地采取多个资料进行比较，通过资料的相互印证、补充来展现更为全面的内容；也尽量地采取直接引用原文原句的方式（正文、注释中均以楷体字出现），做到高度、广度与准确度、精细度结合。
在具体写作中，主要是沿用《史记》以人物带出历史的方法，来展现理性思维的历程与丰碑。在具体不同学科中，根据其特殊性，在各个部分中具体写作构想和线索安排又有所不同。比如：在“文学”“中国传统思维”“佛教”等部分内容，针对其社会科学的特点，则强调对“思维局限”的思考；作为现代研究“思维”的两个切入口，附录“计算机与人工智能”“逻辑学的物质基础”部分则以整理目前成果为主；附录“鸡先蛋先”则是对科学思维的具体流程和关键做些探讨，以求与“中国传统思维”作对比，反思中国传统思维。
2关于本书的目的本书着眼于远大的目标，但其实迈出的只是一小步。所以，这里将创作本书，以求实现的“未来”目标展现出来，以求更多的贤达补益，以寻同仁共同完成如此浩大工程：第一，希望借助这部作品，发现现有人类思维的局限。跟随笔者的探索之旅，大家可以发现一个有意思的问题：人类的思想成果丰富，科技昌盛繁荣，但是思想家、科学家所使用的思维方法却是相当有限的。甚至这些有限的方法还可以使用更简洁的方式去表达，仿佛我们已经能够触及这一局限。当然，假如有一天，这一局限真正被掌握，那么至少对于发展人工智能来说，有着巨大的意义。因为思维模式的发现，对于发展人工智能来说，可能是一种有效的思路：让计算机实现这样的“模式”，这样计算机就有可能像人类一样创造性地解决问题，甚至考虑得比人类更遥远，更广泛，更快速，更有效。
第二，人类思维非常丰富，但其中有没有简单的“模式”？探索思维的局限，找到思维的基本模式，最实在的用途就是提高我们的思维能力和水平，最理想的用途就是打破思维的局限，拓展思维的空间，创造思维的方法。不仅可以通过掌握思维的基本模式去创造新的方法，而且可以通过批判现有的思维模式去研究、创造新的模式，这样一来，对于人类思想才是一种“质”的推动。我们对于宇宙、生命及自身的理解依然相当有限，这样的局限很大程度上是受限制于我们现有的思维能力和水平。如果要提升我们的理解，那么我们就应该发展我们的思维，努力打破现有的思维模式。
第三，这本书主要是为自己，为所有中国人写的。中国传统的哲学，最受忽略的正是“方法论”本身，这部作品的努力是希望能够提高我们对“方法论”的认识。准确地说，我们之前的世界观、人生观，都是建立在“哲学”之上，与“科学”的关系过于疏淡。现实有一个世界，而哲学、科学、宗教、艺术所塑造的却是各各不同的世界，现实世界要么被缩小，要么被放大，要么被扭曲，要么被理想化。所以唯一有效的途径是借助我们所共有的思维方式，即便我们的思维方式彻底失败、错误，但它也绝对是我们无法舍弃的“一根稻草”。凭借我们共同的思维方式，我们就可以摆脱自上而下，从世界观推演人生观，再由人生观推演方法论这单一路线的限制；通过由下而上，从方法论，去检验人生观、世界观，探索我们建立起来的“思想体系”是否禁得起逻辑的推敲，是否自洽，是否完备。这也是本书名为“绝对理性”的原因。
当然，这样的检验是以后的工作。本书主要还是借助对科学成果的理解展现一个科学的思想体系：通过数学、逻辑学，我们可以了解科学的系统与方法论；通过物理、化学，我们可以了解科学的宇宙观；通过生物学，我们可以认识生命的本质，以此建立生命观、人生观；通过经济学，我们可以理解社会的运行与发展，形成社会观；通过文学、佛学我们可以尝试理解文艺观、宗教观……
3关于本书的阅读笔者自身专业，既非哲学，更非科学。所以本书最直接的努力，就是实践“”观。数学反映的是一种高级的抽象思维，语言文字则反映更广泛更主要也更自然更本质的思维。不管本书能否实现探索“现有思维局限”的目的，至少本书已经成功实践了“文学”不仅仅是“文艺学”“文学学”，并以自身的努力证明了“文学”是理解各个学科，把握人类思维奥妙的主要手段。
所以，阅读本书没有很大的“学科专业”障碍，因为笔者也只是一个“汉语言教育”的专业人士。本书对于各个学科的理解，其实都是笔者自己努力理解之后，简化、清晰条理化后的结果。本书尝试让“科学”走下高耸、神秘的殿堂，让普通读者更接近“科学”，理解“科学”。而且不是普及科学知识，而是普及科学家的思维。尽可能地通过对于相关历史的了解，真切地感受“科学家”的简朴与自然，知道“科学家”主要靠的是勤奋和努力，靠的是前赴后继的继承和发扬，他们能够想到的，其实我们也能够。
当然，虽然几经删改，但最终呈现在读者面前的文字依然存在的种种问题。作为语言教育专业人士，笔者自己也无法容忍；但是天地日月皆有缺，何况个人狭隘的时空、纤小的力量，面对缺憾也只能横下心，放下笔。最终这本书也只能以这样的面貌面对大家，希望读者能够体谅。
另外，对于思想家、科学家研究、发现的过程，本书力求叙述详细；除了展现其思维的历程，也记录了一些公式和计算（基本上这些内容也是思维的关键），可能会阻碍读者阅读流畅性。这时，厌烦的读者大可跳过这些内容，直接阅读前后形象化的描述和分析。当然，如果花多点时间，对这些过程“意会”一下，还是别有收获的，这也是笔者自己的真实体验。
如果直接跳到“总结”部分，也可以先了解全书的观点。本书的结论，绝对算不上是创见，之前应该有不少人感受到、领悟到，甚至已经明确地表达了出来；本书的努力只是以具体的考证、分析来完成而已。这些努力大家可以在书中各个部分真切地体会到。
衷心感谢您的阅读！
作品相关介绍零2目录
目录
序言
一、数学
1《几何原本》——理性的典范
2微积分——朝实用性迈进
3完全性的追求——从康托到哥德尔
附录1计算机与人工智能
1图灵之前关于计算机的思想
2数字计算机之父——图灵
3人工智能之父——图灵
二、物理学
1牛顿发现万有引力定律
2爱因斯坦——牛顿的继承者
3量子理论——思想精英赛
三、化学
1质量守恒定律
2原子理论
3元素周期表
4有机化学
5催化作用
四、生物学
1达尔文与进化论
2孟德尔与遗传学
附录2从“鸡先蛋先”的解答看科学的思维
1弄清楚问题
2角度决定思路
3新发现与新观点
五、工程技术学
1不该被忽略的工程技术学
2超越时空的“金字塔”
3瓦特改良蒸汽机
4爱迪生发明钨丝电灯
5沃兹制造第一台个人电脑
六、经济学
1现代经济学的鼻祖——亚当o斯密
2最具影响力的经济学家——凯恩斯
3后凯恩斯时代的经济学
七、文学
1文学的自由与局限
2框架设计的局限
3线索安排的局限
4主题构思的局限
5手法运用的局限
6“时空”想象的局限
八、语言学
1道——语言学的研究思路
2术——语言学的研究方法
3古代汉语的特点
4未来语言的猜想
5语言表达模式与思维
九、逻辑学
1逻辑学之父——亚里士多德
2科学归纳法的缔造者——培根和穆勒
3中国传统逻辑——类比推理
附录3逻辑的物质基础——大脑
1大脑的关键结构与基本功能
2对大脑功能的理解
十、中国传统思维（哲学中的方法论）
1思维的基础——求真与求善
2思维的模式——综合与分析
3思维的特点——系统论与辩证法
4思维的缺陷——政治性宗教性
十一、佛教
1佛教产生的背景
2佛教简史
3佛教的思想演变
4佛教的思维基础
5以佛教反思宗教
十二、总结
1关键理念的辨析
2概括方式的说明
3思维发展的历程
4思维方法的局限
作品相关介绍一、数学
1《几何原本》——理性的典范欧几里得（euclid，古希腊，－300前后）的《几何原本》不仅在数学领域是神圣的，在科学界也是理性的典范，因为它不仅提供了一套理论，还提供了一套思想体系——公理化，而且其中运用的方法，基本上涵盖了数学思考的艺术和方法。
11先天理性——公理“从小亚细亚到西西里岛、南意大利及整个地中海地区的许多学派和个人的工作，都被欧几里得总结在一本名为《几何原本》的杰作中。[1]”据史料记载，《几何原本》的内容可能吸取了前人的成果。原著共十三卷，第1—4卷和第7、9卷，可能来自毕达哥拉斯（pythagoras）学派的著作；第8卷可能来自阿尔希塔斯（archytas）的著作；第5、6和7卷的部分内容可能来自欧多克索斯（eudox）的著作；第10和Ⅻ卷可能来自泰特托斯（thcaetet）的著作，但是，也有人认为最难读的第10卷（十三种无理线段）是欧几里得本人的研究成果[2]。可见，《几何原本》是一本凝聚前人智慧的作品，欧几里得是一位数学的集大成者。
前人的智慧在欧几里得那里成为了一套体系。这套体系中关键是“公理”的思想。对于公理，亚里士多德这样说明：“并不是所有的东西都能被证明，否则证明的过程将会永无止境。证明必须从某个地方起步，用以起步的这些东西是能得到认可的，但却不是不可证明的。这些就是所有科学的第一普遍的原理，被人们称之为公理，或常识。[3]”
与这一思想，最契合的是老子《道德经》中的一句话，“有物混成，先天地生，寂兮寥兮，独立而不改，周行而不殆，可以为天下母。”为什么这样说，比如要为世界找一个开端，找到了上帝，那么上帝又是从何而来？这样追溯上去，就会有问题。要解决的话：要么就是“人类造出上帝，上帝又造出人类”这样的循环论证；要么就是“上帝是最初的”。所以西方世界不论到了什么时候，有何等的智慧，好像仍然信奉上帝；与其说他们信奉宗教，倒不如说他们信奉“真理有个最初”。而老子与亚里士多德的理解，一开始就是个抽象而永恒的根本——道（公理）。
《几何原本》[4]中只用了五个公理和五个公设：五大公理：1等于同量的量彼此相等。（即a=c，b=c，那么a=b）2等量加等量，其和仍相等。（即a=b，c=d，那么a+c=b+d）3等量减等量，其差仍相等。（即a=b，c=d，那么a-c=b-d）4彼此能够重合的物体是全等的。（对于几何而言，相等就是重合。a与b重合，即a=b）5整体大于部分。（即a=a+b，那么a＞a，这一点后来被证明在无限的概念中无效）
五大公设：1由任意一点到另外任意一点可以画直线。2一条有限直线可以继续延长。3以任意的点为心及任意的距离可以画圆。4凡直角都彼此相等。5同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交（因为其表述麻烦，所以后人把它改成一种等价形式：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。所以也称之为“平行公设”）。
在希腊时期，公理和公设是有区别的。公理是数学各个分支都承认的基本道理，公设只是几何学中所需要的基本道理。现代学者已不再将它们区分，而统称为公理。其实我们现在来看公理跟公设，还是有区别的，这五大公理都非常简单，甚至看起来好像是多余的，和我们说“太阳每天早上会从东方升起”一样。可这正是公理的基本要点，简单而且大家都知道都接受。建立在这样的基础上的科学才是有效的真理。（当然要注意一点的就是随着科学的发展，我们不断地提高对我们人类自身感知能力的“认识”，我们不断地在建立一些新的“公理”，而这些公理已经超乎常人的见识。）可神奇正在于，一直到现在，这五大公理依然是不可推翻，而且是数学一切计算的基本法则；这是因为一开始这五则就已经打破了人类的“感知”，它已经是抽象于现实世界的绝对理性。正如我们知道“世界上没有两片完全相同的叶子”，可是我们需要“相等”这个关系。
五大公设的前四个和五大公理相同，它们都是简单而且能被大家接受。唯独“平行公设”，引起了很多的争论，后世数学家虽然承认第5公设是正确的，但大家都觉得它不像是“公设”，更像是一条可以被证明的“命题”。因为我们一看就知道它并不简洁，而又好像能够凭借画个图（如图11）就可以清楚看出来，知道三角形内角和为180。的人，乍一看就会觉得这是可以证明的。但奇怪的是，经过了二千年的时间，耗尽了无数数学家的热情与心血都未能找到对第5公设的一个合理证明！当然这也又一次印证了哲学的巧妙：越简单的越困难。所以，到了现在我们也觉得欧几里得相当了不起，这的确必须是个公设。
奥妙之处，在于这里涉及的是直线，可以无限延长，而谁都无法到达无限去，比如两个内角的和无限接近180。的话，那么即使是在一平面上也是无限接近，却最终无法相交，可这样就不是相交于一点了。甚至，其中的一个关键点，三角形的内角和究竟是不是180。，还是一个大问题。180。是测量出来的，可不是证明出来的。高斯曾经找了三个山头，他认为很远了，然而测量的结果当然不是180。，因为测量是存在误差的，即使非常小。但是只要是非常小的差别，就不能明确是180。。这一点也看出了数学的抽象与严谨。
当然，无聊的事情不是没有好处，一些数学家，俄国的罗巴切夫斯基（1829年《论几何基础》）和匈牙利的波尔约（1832年《绝对几何学》），还包括高斯（去世后留下的手稿）就借助对第5公设的思考而找到了“非欧几何”。他们发现即使否定了第5公设，我们仍然可以得到一个没有矛盾的几何体系，而这个体系就是非欧几何。他们都是假定过线外一点有两条直线与所给的直线平行，得到了两种全新的几何：双曲几何（内角和小于180。）、椭圆几何（内角和大于180。）。而且它们和欧氏几何在我们通常的尺度下都无法辨别，现在还没有测量仪器可以辨别，在正常尺度下，三种几何的三角形内角和都接近于180。。
非欧几何的出现，给了我们很多的启发。张顺燕指出：“欧氏几何的诞生动摇了人们的真理观，使人们认识到数学只是一种思维的产物，不是客观世界的产物，同时又让人们看到三种几何，也就是说数学是逻辑的产物……从这三种几何可以看出，数学的的确确是同根异干，同干异枝，同枝异叶，每两个东西都是完全不一样的。[5]”而其实更关键的是，对根源的反思，正是创新的源泉。公理的建设就是数学的根的建设，最根本，最简单，也最重要。对于它们的理解和反思肯定会创造出更神奇的数学。现在，我们理解欧氏几何是一种中观的几何，他适用于我们的一般计算。不过涉及到宇宙宏观或者粒子微观世界，我们用的却是非欧几何。而这一点，恰好又告诉我们，公理和公设，随着人类思想和实践的进步，也会不断发展，而且借此又可以建设新的体系。这也是公理化思想的根本所在。
现在，不妨思考一个有趣的问题，为什么刚好是五个公理，五个公设呢？难道与中国“五行”对应？当然不是。我们知道单一的公理，是无法进行任何有效的计算推演的。虽然我们可以清楚地看到五大公理之间有着某种单向的联系，可是这些依然得靠规定，不然当年为什么不加上“等量乘以减等量，其积仍相等”“等量除以等量，其商仍相等”呢？而且我们现在也知道，其实严格地说还需要更多的公设，比如有人发现，《原本》中的第一卷第一个命题的推理，就出了问题：在一个已知有限直线上作一个等边三角形。（如图12）
设ab是已知有限直线那么，要求在线段ab上作一个等边三角形以a为心，且以ab为距离画圆bcd；[公设3]再以b为心，且以ba为距离画圆ace：[公设3]由两圆的交点c到a，b连线ca，cb。[公设1]因为，点a是圆cdb的圆心，ac等于ab。[定义15]又点b是圆cae的圆心，bc等于ba。
但是，已经证明了ca等于ab；所以线段ca，cb都等于ab。
而且等于同量的量彼此相等[公理1]三条线段ca，ab，bc彼此相等。
所以三角形abc是等边的，即在已知有限直线ab上作出了这个三角形。
这就是所要求作的。
以上这个方法，是运用标准的尺规作图，而且还是典范的运用个公理和公设进行证明。可是其中也有一个内容被忽略了，虽然这里作图规范，但其实还少了一个公设，就是分别由a和b为圆心，ab为距离所作的圆bcd和圆ace至少有一个交点c。也许我们都会认为，画出来就有啊，但是画出来有并不一定存在，它可能只是个偶然性而已，而缺乏绝对的必然性。这一点非常重要！就如第5公设一样，我们画再多的不平行线都可以成功，但是我们无法证明它，所以它必须是公设，而不是什么能够推导出来命题。天地日月皆有缺，《原本》的缺憾是什么？没有人能够说清楚到底“公理”有哪些？因为“公理”的存在，依赖的是我们人类对于世界的认知，而这一认知是个不断进步的过程。由此可见，五大公理和五大公设是比较和谐，比较优雅的一个数字，数学家对数字有点迷信也是自然的。太多了，显得罗嗦，太少了用起来又会不方便。而且这也只是代表了当时的优雅成果而已。
五大公理和五大公设的奥妙在于，凭借它们居然可以推演出整个几何学系统，而且显得那么无懈可击。最著名的例子要推英国哲学家霍布士（thobbes，1588～1679）。下面是欧布烈（jaubrey）精彩的描写：那时，霍布士已年过40岁，在一个偶然机会下，他遇见了几何学。他无意中在图书馆里看到欧氏《几何原本》，正好打开在第一册的第47个定理，即勾股定理。读了该定理后，他的第一个反应是“我的天啊，这怎么可能！”他研读其证明，发现要用到前面的定理，于是翻到前面读之，又要用到更前面的定理，如此不断地逆溯倒读，最后终于来到几何的源头，即公理。霍布士于是肯定了勾股定理的真确性，也爱上了几何学[6]。我们现在看起来都会感觉相当神奇。这一种体系反映出来的思维，又是和五行思维相同了。《孙子兵法o势篇》中说：“声不过五，五声之变。不可胜听也。色不过五，五色之变，不可胜观也。味不过五，五味之变不可胜尝也。”其实也就是这样的道理。
牛顿开始觉得欧几里得几何太过于简单，后来他发现了欧几里得的价值，不仅热心地向别人推荐它，还仿照《几何原本》的体系，从定义和定律出发，导出命题，再把结论和实验结果相比较，以公理化模式完成了《自然哲学的数学原理》。爱因斯坦也深受《几何原本》影响，他在《自述》中说，“在12岁时，我经历了另一种性质完全不同的惊奇：这是在一个学年开始时，当我得到一本关于欧几里得平面几何的小书时所经历的。这本书里有许多断言，比如，三角形的三个高交于一点，它们本身虽然并不是显而易见的，但是可以很可靠地加以证明，以至任何怀疑似乎都不可能。这种明晰性和可靠性给我造成了一种难以形容的印象。至于不用证明就得承认公理，这件事并没有使我不安。如果我能依据一些其有效性在我看来是无容置疑的命题来加以证明，那么我就完全心满意足了。[7]”这段话，可以让我们看到了爱因斯坦对公理意义的非凡理解。公理、公设、定义就好像是七巧板，运用它们可以组合成几乎一切的图形，而因为它们是大家接受的“真实”，所以组合而成的也是“真实”。而且这些真实可以超越我们的感官，是确切的必然的。正是因为他体会了这些，才有了他在狭义相对论和广义相对论中的成果，我们可以从他的思考过程中发现“公理化思想”是其思维的模式[8]。
吴文俊指出“东西方数学的异同，也就是现在欧美的数学跟东方数学（主要是古代的中国数学）有什么异同。我们学现代数学（也就是西方数学），主要内容是证明定理；而中国的古代数学根本不考虑定理不定理，没有这个概念，它的主要内容是解方程。我们着重解方程，解决各式各样的问题。[9]”中国数学曾经取得辉煌的成就，可是在近代却迟滞不前，关键一点就是中国缺乏这样的“公理体系”，也缺乏这样的“公理”思维，所以所有的收获都是零碎的，无法统一起来，也缺乏一种有效的统一和总结。
总而言之，欧几里得几何是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的影响，公理化结构已成为现代数学的主要特征。而且公理化思想已经成为科学的思维基础，对于各个学科的系统的建立，对于各个学科的发展都有着相当重要的意义。
12定义的反思——完美定义就是不定义其实在《几何原本》中一开始列出来的是定义，不是公理。对于定义的反思，也是件有趣的事情。与公理公设的数量少而有限不同，欧几里得的定义（按十三卷本），总共有132个。这么多的定义，肯定容易出问题。
首先，是对于定义存在的怀疑，有数学家指出：《原本》第一卷就首先给出23个定义，前面7个定义（1点是没有部分的。2线只有长度而没有宽度。3一线的两端是点。4直线是它上面的点一样地平放着的线。5面只有长度和宽度。6面的边缘是线。7平面是它上面的线一样地平放着的面）实际上只是几何形象的直观描述，后面的推理完全没有用到。不过，这一点其实不重要，因为欧几里得给出这些定义，很可能只是想要明确表达自己的一些概念理解。
其次，是对于定义本身的怀疑。克莱因批评说：“在这部著作中，欧几里得当时所给出的这些术语，并不是物质实体本身，而是从物质实体中抽象出来的概念。他说，点，就是不包括任何部分的东西。欧几里得在下定义方面，走向了不必要，不明智的极端。一个具有逻辑结构、自足的体系，必须从某一个开始。不能指望对每一个使用的概念都给出定义，因为下定义就是用其他的概念去描述一个概念，而前者又必须通过其他的概念来描述。很明显，如果要使这个过程不至于循环……[1]”克莱因的评价，其实说的和“公理”的“先天”本质差不多，定义尤其是具有原始意义的定义，必须是空缺的，不需具体的；而且这些不规范的定义没有影响研究，其实也揭示了这些定义的无意义。所以希尔伯特（davidhilbert，1862～1943）1899年发表著名的《几何基础》一书。引入了“点”“线”“面”“通过”“在……之间”“相等”6个不加解释的定义。被称为对《几何原理》工作的最好完善。
再次，克莱因认为“并非所有的概念都能在一个独立的系统中得到定义。所有的概念都源于一定的物质实体，并且代表着这些物质实体。但是，物质的意义并不能给这种正式定义以任何帮助，因为它们并不是数学的内容。令人惊奇的是，几何学中的一些无法定义的概念，并没有给研究带来麻烦。[1]”他指出了物质与定义之间一种微妙的关系，简单地说就是物质（现实世界）给我们带来定义，可是它始终无法与数学的定义直接划上等号。理解这一点很重要。比如彭罗斯和霍金一起发表“奇点定理”的报道，非常简单地将其结果概括为“宇宙诞生自一个奇点”，然而，彭罗斯本人称“奇点这个词给人的印象好像本身暗示了什么，其实那不过是‘这个数学模型用在这里不很合适’的意思。”他还说，“太遗憾了。面向大众的解释的确常常就是这样写的……不过，我的真正意思其实是‘需要有新的理论’。[10]”如何理解彭罗斯这些话呢？按照目前的“大爆炸理论”，必须存在一个“奇点”，而这个概念超出了人类的理解，我们觉得这是不可能的，甚至连最纯粹的数学都无法与这样的概念相对应。可是事实又多次证明，宇宙的真相总是超乎人类狭隘的“常识”。如彭罗斯所言，这代表新的理论来解释。
最后，有人认为欧几里德的定义含混不清。其实，“含混不清”是表述与理解必然存在的矛盾。欧几里德的表述，在几千年前，和中国的文言文差不多，限制于文化传播工具，不可能详细，所以我们现在来看必然有这样的问题。而且，定义体现着人类对于物质世界认知的进步和发展，所以总是有其时效性。比如，对于“时间”“空间”“零”这些基本的概念，到现在依然在不断地进行深入，而优秀的数学家、自然科学家总是抓住了关键，把握到被别人忽略的属性，创造出新的“定义”，牛顿理解“线是移动的点留下的轨迹，面是移动的线形成的”，如果不这么思考，那么只有位置，没有大小的“点”连起来就可以是“线”么？无数的没有宽度、只有长度的“线”，可以连接成“面”么？
可见“定义”，尤其是基本的定义，如果能够作到“若有若无”，让大家都能够体会“此中有真意，欲辨已忘言”，才是最好的。而完美的定义，只能是不定义。更重要的是，定义是研究的基础，它体现着极大的思想性和关键性。
13具体方法——几近于道留存的欧几里得资料很少，我们无法知道他工作的具体过程，只知道《几何原本》是集大成之作，所以，我们只能从《几何原本》中具体的证明过程，探讨他的思维方法。
欧几里得运用的方法不多，但是运用自如了，又好像可以解决所有问题。而且仔细思考就会发现，《几何原本》几乎涵盖了数学思维的方法，可以称“大盈若冲，其用不穷”，几近乎道。
131综合法与分析法——基本的思维方法有人称欧几里得提出综合法和分析法。这样的说法是很不牢靠的，虽然这两种方法是数学的基本方法，而且很自然，也很必然地可以在欧几里得的证明中找到这样的思路。但欧几里得没有也不可能明确提出这样的概念和说法。我们只能妥帖地称：欧几里得示范地规定了几何证明的方法，包括综合法和分析法。
综合法和分析法，是最简单最基本，也最通俗的思维方式。证明一个命题的正确时，我们先从已知的条件出发，通过一系列已确立的公理、定义、命题，逐步推演，直到要证明的结果，这种思维方法，就叫做综合法。而很明显这是我们正常的思维顺序，即“由因导果”。相反地，先从结论出发，然后追究它成立的原因，再看这些原因成立又需要什么条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实，这样一种思维方法就叫做分析法，也即“执果索因”。欧几里得一般的证明过程的描述，都可以让我们看到综合法的运用；当然体现综合法的表述，很可能思考过程却是采用了相反的分析法，就像我们解题一样，可以从结论逆推，然后按顺序书写答案。
具体而言，关键只在于以什么为先以什么为后。我们一般思考问题也是如此，1912年蔡元培担任教育部部长，刚上任他就和朋友兼搭档——次长范源濂有了一个争论：范认为小学没办好，怎么能办好中学，中学没办好，怎么能办好大学，所以教育的重中之重就是整顿小学；蔡则认为没办好大学，中学师资从哪里来？没办好中学，小学的师资哪里来？所以应当整顿大学。[11]争论的结果当然是同时进行。这就体现了两种处理问题的思维方式，一是自上而下，一是自下而上。而且有这两种，当然就必然有第三种，从两头到中间，而有第三种就有第四种：从中间到两头。
比如，“全球变暖”引发科学家对于二氧化碳的研究，要研究地球二氧化碳的变化是个很困难的过程。为了对更久远的二氧化碳水平有所认识，研究人员不得不依靠间接的方法：查看化石叶片中的气孔密度。植物需要让二氧化碳进入气孔，也通过这些气孔失去水分，植物通常没有不必要的东西。美国康涅狄格州米德尔顿卫斯理大学的丹纳o罗耶（danaroyer）说：“人们观察到，在二氧化碳增加时，很多植物的气孔密度减少，这趋向于是一种物种特异性反应。”[12]这一方法，其实就是从两头推中间，这在具体的解决问题中更常见，也更能体现出思维的能力。我们总是存在“已知”和“想知”，就是不能一步步顺序推理，所以必须找到中间的某个点，以此连接前后，形成明确的科学逻辑过程。就如这一成功案例，我们知道现在的二氧化碳情况，但是对于过去我们不清楚，想知道。这里没有一个必然的推理过?br/>